PKM - 高等数学

2022.10.03

图例说明

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目录

• 预备知识

  • 高等数学预备知识

    • 复合函数
    • 极直坐标系常见图像
    • 常用不等式

• 极限问题

  • 函数极限

    • 定义（是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性、等式脱帽法）
    • 计算（无穷小、恒等变形、中值定理、洛必达、泰勒、无穷小比阶）
    • 抽象类型（洛必达失效用夹逼、单调有界）
    • 连续与间断

  • 数列极限

    • 定义（类似于函数极限）
    • 计算（归结原则、构造|xn-a|、单调有界、夹逼、综合题）

• 一元函数微分学

  • 一元函数微分学的概念

    • 导数定义（分段点处用定义）
    • 微分的概念

  • 一元函数微分学的计算

    • 各种计算导数
    • 高阶导数：归纳法、莱布尼兹、泰勒展开式抽象展开

  • 一元函数微分学的几何应用

    • 极值与单调性（三个判断方法）
    • 拐点与凹凸性（三个判断方法）
    • 渐近线、曲率曲率半径

  • 中值定理，微分等式与不等式

    • 确认辅助函数
    • 最值定理
    • 介值定理
    • 平均值定理
    • 零点定理
    • 费马定理
    • 罗尔定理
    • 柯西中值定理
    • 积分中值定理
    • 拉格朗日中值定理
    • 泰勒公式
    • 微分等式
    • 微分不等式

  • 一元函数微分学的物理应用

    • 以A对B的变化率为核心写成dA/dB

• 一元函数积分学

  • 一元函数积分学的概念与性质

    • 定积分定义(i/n)
    • 祖孙三代(奇偶性、周期性等)
    • 反常积分敛散性(p积分、广义p积分)

  • 一元函数积分学的计算

    • 基本积分表
    • 有理函数积分
    • 点火公式大全、区间再现、诱导公式、区间化简公式、对称性下的积分问题、定积分分部积分法中的“升阶”“降阶”问题、分段函数的定积分

  • 一元函数积分学的几何应用

    • 极直互化、面积体积平均值、弧长侧面积型心

  • 积分等式与不等式

  • 一元函数积分学的物理应用

• 多元函数微分学

  • 多元函数微分学

    • 全微分：全增量->线性增量->做极限
    • 偏导数连续性：定义法求，公式法求，极限相等
    • 链式求导、隐函数存在定理、逆问题（用dz反求z）
    • 无条件极值(Delta=AC-B^2..)
    • 有条件极值(拉格朗日乘子法)

• 多元函数积分学

  • 二重积分

    • 轮换对称性、普通对称性
    • 极直坐标系互换、积分次序互换

  • 多元函数预备知识

    • 向量：数量积、向量积、混合积、方向余弦
    • 直线与平面：直线方程、平面方程、直线平面位置关系
    • 空间曲线：曲线方程、切线、法平面
    • 空间曲面：曲面方程、切平面、法线
    • 场论：方向导数、梯度、散度、旋度

  • 多元积分学

    • 三重积分、形心公式
    • 第一型曲线积分、形心公式
    • 第一型曲面积分(eg曲面的投影)、形心公式
    • 第二型曲线积分、化为定积分、格林公式、斯托克斯公式
    • 第二型曲面积分、高斯公式

• 微积分的应用

  • 微分方程

    • 变量可分离
    • 可化为变量可分离(u=ax+by+c、u=y/x)
    • 一阶线性微分方程(公式法)
    • 伯努利方程(y^n除过去)
    • 二阶可降阶微分方程(赶尽杀绝y、斩草除根x)
    • 二阶变系数线性微分方程(通解、两种特解)
    • n阶常系数齐次线性微分方程

  • 无穷级数

    • 常数项级数：正项级数、交错项级数
    • 判敛散：比较判别法、比较判别法极限、比值判别法、跟值判别法、积分判别法、交错相级数
    • 幂级数：阿贝尔定理(收敛域)、幂级数求和

  • 物理应用

    • 弧长、侧面积、形心

介绍

按照张宇2022与2023考研数学提高班进行归纳与整合。

资源

链接: https://pan.baidu.com/s/1mFy2Y7eLtRVwZMGfbkrxiQ
提取码: FX7U
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版本

• V1 2021.11.18

  按照2022张宇考研课程进行整理，完成全部知识框架搭建

• V2 2022.1.31

  按照2023张宇基础30讲进行重新学习