函数极限

2022.09.26

极限定义

核心

$\underset{x\to \cdot }{lim}=A⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0,x\to \cdot ,|f(x)-A|<\epsilon$$\lim_{x\to\cdot}=A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0,x\to\cdot,|f(x)-A|<\varepsilon$

类型

$x\to x_0,x\to x_0^{+},x\to x_0^{-},x\to \mathrm{\infty },x\to +\mathrm{\infty },x\to -\mathrm{\infty }$$x\to x_0,x\to x_0^+, x\to x_0^-,x\to \infty,x\to +\infty,x\to -\infty$

等价无穷小

基础组

当$x\to 0$$x\to 0$时 $\sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim x$$\sin x \sim \tan x \sim \arcsin x\sim\arctan x\sim x$ $e^x-1\sim ln(1+x)\sim x$$e^x -1\sim ln(1+x)\sim x$ $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim ax(a\ne 0)$$(1+x)^\alpha-1\sim ax(a≠0)$

拓展组

当$x\to 0$$x\to 0$时
根据一众泰勒公式
$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$ $x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$ $x-\tan x\sim -\frac{x^3}{3}$$x-\tan x\sim -\frac{x^3}{3}$ $x-\arcsin x\sim -\frac{x^3}{6}$$x-\arcsin x\sim -\frac{x^3}{6}$ $x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3}$$x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3}$ $x-\ln (1+x)\sim \frac{x^2}{2}$$x-\ln(1+x)\sim \frac{x^2}{2}$ 根据“狗-sin狗=1/2 狗3”, 拓展
$e^{\sin x}-e^x\sim \sin x-x\sim -\frac{x^3}{6}$$e^{\sin x}-e^x\sim \sin x-x\sim -\frac{x^3}{6}$ 根据“狗-sin狗=1/2 狗3”, 再拓展
$x+\sin x\sim 2x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\sim 2x+o(x)$$x+\sin x\sim 2x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\sim 2x+o(x)$ 根据“ln(1+x)~x”, 拓展当$x\to 1^{+}$$x\to 1^+$时
$\ln x\sim x-1$$\ln x\sim x-1$ $lim{u}^v\stackrel{1^{\mathrm{\infty }}}{=}{e}^{lim(v\ln u)}=e^{lim(v(u-1))}$$\lim u^v \xlongequal{1^{\infty} }e^{\lim (v\ln u)}=e^{\lim (v(u-1))}$ 结合归结原则,$x_n=\frac{1}{n}$$x_n=\frac{1}{n}$的情形,例如 $\begin{array}{rl}1-\cos (\frac{1}{n})& \sim \frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{n}{)}^2\\ 1-\cos x_n& \sim \frac{1}{2}\cdot x_n^2\end{array}$$\begin{align*} 1-\cos(\frac{1}{n})&\sim \frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{n})^2\\ 1-\cos x_n&\sim \frac{1}{2}\cdot x_n^2 \end{align*}$

重要极限

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$\lim_{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e$ $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\ln x=0$$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0$

常用泰勒公式

第一组

1. $e^x$$e^x$是原始

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

2. $\sin x$$\sin x$是狗减sin狗, $\cos x$$\cos x$是$e^x$$e^x$的另一半, 也是$\sin x$$\sin x$求导.

• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+...$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+...$
• $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+...$$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+...$

3. $\sin x,\cos x$$\sin x,\cos x$有了两个减号,有了系数2,6， 所以$\tan x$$\tan x$系数是3,符号是+.

• $\tan x=1+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$\tan x = 1+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

4. $\arctan x$$\arctan x$就是3变成-3, $\arcsin x$$\arcsin x$类似, -6变成6.

• $\arctan x=1-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$\arctan x = 1-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $\arcsin x=1+\frac{x^6}{6}+o(x^3)$$\arcsin x = 1+\frac{x^6}{6}+o(x^3)$

第二组

1. 从等比数列入手, 从公比是x到公比是(-x)

• $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3...$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 ...$
• $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3...$$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 ...$

2. $ln(1+x)\text{求}\text{导}\text{是}\frac{1}{x+1}$$ln(1+x)求导是\frac{1}{x+1}$

• $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}...$$ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}...$

第三组

• $(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+o(x^2)+...+\frac{a(a-1)..(a-n+1)}{n!}+...$$(1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2)+...+\frac{a(a-1)..(a-n+1)}{n!}+...$