无穷级数

2022.06.29

无穷级数常数项级数概念与性质正项级数交错级数任意项级数绝对收敛与条件收敛常用结论幂级数幂级数与收敛域常用的求和公式

常数项级数

概念与性质

遇到新题尝试下面思路
$\begin{matrix} S_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} \\ lim_{x \to + \infty} S_{n} = A, & 收敛 \\ lim_{x \to + \infty} S_{n} = \infty 或不存在, & 发散 \end{matrix}$
性质1：线性
$\sum_{n = 1}^{\infty} a u_{n} + b v_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} a u_{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} b v_{n}$
性质2：m项后余项与原级数同敛散性——改变有现项不改变敛散性
性质3：级数收敛，则通项趋于零

正项级数

概念
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} \\ u_{n} \geq 0 \end{matrix}$

收敛原则
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 \to S_{n} 有界 \\ S_{n} 有界 \to \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 \end{matrix}$

比较判别法
- 小发则大发，大收则小收
- 可以结合常用不等式
  - $x > \ln (x + 1) > 0$
比较判别法的极限形式
$\begin{matrix} lim_{x \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = {\begin{cases} 0 & , 按比较判别法 \\ \infty & , 按比较判别法 \\ A \in (0, \infty) & , u_{n}, v_{n} 同敛散 \end{cases} \end{matrix}$
比值判别法（达朗贝尔判别法）
$\begin{matrix} lim_{x \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = ρ \\ {\begin{cases} 收敛 & , ρ < 1 \\ 发散 & , ρ > 1 \\ 失效 & , ρ = 1 \end{cases} \end{matrix}$
根值判别法（柯西判别法）
$\begin{matrix} lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{u_{n}} = ρ \\ {\begin{cases} 收敛 & , ρ < 1 \\ 发散 & , ρ > 1 \\ 失效 & , ρ = 1 \end{cases} \end{matrix}$
积分判别法
$u_{n} 非负单减， \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_{n} 与 \int_{1}^{+ \infty} f (x) d x 同敛散$

交错级数

$\sum_{x=1}^{+\infty}(-1)^nu_n$ $u_n>0$ ，不等于零
莱布尼兹判别法
${\begin{cases} u_{n} 单调递减 \\ lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0 \end{cases} \to 收敛$
一些常用反例
$\begin{matrix} u_{n} = (- 1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}} \\ u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \\ u_{n} = (- 1)^{n} \frac{1}{n} \\ u_{n} = \frac{1}{n} \end{matrix}$
常用结论
- p级数
  $\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} {\begin{cases} 收敛 & , p > 1 \\ 发散 & , p \leq 1 \end{cases} \end{matrix}$
- 广义p级数
  $\begin{matrix} \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{p} x} {\begin{cases} 收敛 & , p > 1 \\ 发散 & , p \leq 1 \end{cases} \end{matrix}$
1. p=1的时候都是发散的
2. Pxx与广义Pxx条件是敛散性一样的。所以才叫广义。
3. P积分的(0-1)与(1,+∞)积分实际上可以认为是x取倒数。
4. $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}$ $\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^p}$ 结果一样。

任意项级数

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛：同项加绝对值也收敛，绝对收敛则原级数也收敛
条件收敛：原级数收敛但是加绝对值就不收敛了

常用结论

$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 ↛ \sum_{n = 1}^{\infty} | u_{n} | 收敛 \\ e g . \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n} 收敛， \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 \to \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2} {\begin{cases} 收敛 & , u_{n} \geq 0 \\ 不确定 & , u_{n} 为任意项 \end{cases} \\ e g . \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}} 收敛， \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 \to \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} \cdot u_{n + 1} {\begin{cases} 收敛 & , u_{n} \geq 0, (1) \\ 不确定 & , u_{n} 为任意项, (2) \end{cases} \\ p r o v e (1) . u_{n} \cdot u_{n + 1} \leq \frac{1}{2} (u_{n}^{2} + u_{n + 1}^{2}) \\ e g (2) . \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}} 收敛， \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n (n + 1)}} 发散 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 ↛ \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} u_{n} 收敛 \\ e g . \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n} 收敛， \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 ↛ \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{u_{n}}{n} 收敛 \\ e g . \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{\ln n} 收敛， \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} 发散 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 \to \sum_{n = 1}^{\infty} u_{2 n} 与 \sum_{n = 1}^{\infty} u_{2 n + 1} {\begin{cases} 收敛 & , u_{n} \geq 0 \\ 不确定 & , u_{n} 为任意项 \end{cases} \\ e g . \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n} 收敛， \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n} 发散 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 \to \sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n} + u_{2 n - 1}) 收敛 \\ \sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n} + u_{2 n - 1}) 收敛, 则 \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛, 错！还需要 lim_{n \to \infty} u_{n} = 0 \\ e g . u_{2 n} = 1, u_{2 n - 1} = - 1, \sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n} + u_{2 n - 1}) = 0, \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 发散 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛, \sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n} - u_{2 n - 1}) 不确定 \\ e g . \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n} 收敛， \sum_{n = 1}^{\infty} (u_{2 n} - u_{2 n - 1}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 \to {\begin{cases} \sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + u_{n + 1}) 收敛, \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n + 1} 收敛 \\ \sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} - u_{n + 1}) 收敛, \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} - \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n + 1} 发散 \end{cases} \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} | u_{n} | 收敛, 则 \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛 \\ \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 发散, 则 \sum_{n = 1}^{\infty} | u_{n} | 收敛 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2} 收敛, 则 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{u_{n}}{n} 绝对收敛 \\ 因为 | \frac{u_{n}}{n} | \leq \frac{1}{2} (u_{n}^{2} + \frac{1}{n^{2}}) \end{matrix}$
$\begin{matrix} a, b, c \neq 0 \\ a u_{n} + b v_{n} + c w_{n} = 0 \\ 则在 \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} w_{n} 中只有有两个收敛，另一个必收敛 \end{matrix}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n} 都收敛，则 \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} \pm v_{n} 收敛$
$\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛, \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n} 发散，则 \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} \pm v_{n} 发散$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n} 都发散，则 \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} + v_{n} 发散 (u_{n} \geq 0, v_{n} \geq 0) \\ \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n} 都发散，则 \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} \pm v_{n} 不确定 (u_{n}, v_{n} 任意) \end{matrix}$
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}, \sum_{n = 1}^{\infty} v_{n} 都收敛， {\begin{cases} (1) \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} \cdot v_{n} 收敛 & , u_{n} \geq 0, v_{n} \geq 0 \\ (2) \sum_{n = 1}^{\infty} | u_{n} | \cdot v_{n} 收敛 & , u_{n} 任意, v_{n} \geq 0 \\ (3) \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} \cdot v_{n} 不确定 & , u_{n}, v_{n} 不确定 \end{cases} \\ p r o v e (1) : (u_{n} \cdot v_{n} \leq \frac{u_{n}^{2} + v_{n}^{2}}{2}) \end{matrix}$

幂级数

幂级数与收敛域

函数项级数
$\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$
幂级数
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n} \\ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n} \end{matrix}$
阿贝尔定理
$\begin{matrix} lim | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = ρ \\ R = {\begin{cases} \frac{1}{ρ} & , ρ \neq 0 \\ 0 & , ρ = \infty \\ \infty & , ρ = 0 \end{cases} \\ 注意端点要单独确认 \end{matrix}$
收敛域求法（具体型）
$\begin{matrix} lim | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1 \\ 收敛区间为 x 范围 \\ 注意端点要单独确认，得到收敛域 \end{matrix}$
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
$\begin{matrix} 若 x = b 时条件收敛 \to R = | b - x_{0} | \\ (x - x_{0})^{n} 到 (x - x_{1})^{n} 的变换不改变收敛域, 包括乘 (x - x_{0})^{k} 与平移 \\ 对级数逐项求导，收敛半径不变，收敛域可能缩小 \\ 对级数逐项积分，收敛半径不变，收敛域可能扩大 \end{matrix}$
如何改造通项与下标
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n + 1} x^{n + 1} \\ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n} = x \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n - 1} \\ \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n} \end{matrix}$
先导后积
$S (x) = S (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} t^{n})^{'} d t$
先积后导
$S (x) = (\int \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} t^{n} d t)^{'}$
常用结论
$\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} = - \ln (1 - x), x \in [- 1, 1) \\ \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n - 1} = \frac{1}{(1 - x)^{2}}, x \in (- 1, 1) \end{matrix}$
常用的展开式(注意收敛域)
$\begin{matrix} e^{x} = \sum_{x = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} & , x \in (- \infty, + \infty) \\ \frac{1}{1 - x} = \sum_{x = 0}^{\infty} x^{n} & , x \in (- \infty, + \infty) \\ \frac{1}{1 + x} = \sum_{x = 0}^{\infty} (- x)^{n} & , x \in (- \infty, + \infty) \\ \ln (1 + x) = \sum_{x = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} & , x \in [- 1, 1) \\ \sin x = \sum_{x = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} & , x \in (- \infty, + \infty) \\ \cos x = \sum_{x = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!} & , x \in (- \infty, + \infty) \\ (1 + x)^{a} = 1 + a x + \frac{a (a - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{a (a - 1) . . (a - n + 1)}{n!} x^{n} + \dots & , {\begin{cases} x \in (- 1, 1), a \leq 1 \\ x \in (- 1, 1], a \in (- 1, 0) \\ x \in [- 1, 1], a > 0, a \notin N^{*} \\ x \in R, a \in N^{*} \end{cases} \end{matrix}$
函数展开
$\begin{matrix} f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} \\ f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} \end{matrix}$

常用的求和公式

分母是n

\begin{matrix} \ln (n - 1) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}, - 1 < x \leq 1 \\ \ln (n + 1) = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n}, - 1 < x \leq 1 \end{matrix}

分母是偶数——2n

\frac{1}{2} \ln (n + 1) = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{2 n}, - 1 < x \leq 1

分母是奇数——2n+1

\arctan x = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}, - 1 \leq x \leq 1

分母有阶乘

\begin{matrix} e^{x} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}, - \infty < x \leq \infty \\ - e^{x} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{n}}{n!}, - \infty < x \leq \infty \\ \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}, - \infty < x \leq \infty \\ \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, - \infty < x \leq \infty \\ \cos x = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}, - \infty < x \leq \infty \\ \sin x = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, - \infty < x \leq \infty \end{matrix}

补充

\begin{matrix} \frac{x}{(1 - x)^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n}, - 1 < x < 1 \\ - \ln (1 - x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}, - 1 \leq x < 1 \end{matrix}

分母是n

\begin{matrix} \ln (n - 1) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}, - 1 < x \leq 1 \\ \ln (n + 1) = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n}, - 1 < x \leq 1 \end{matrix}

分母是偶数——2n

\frac{1}{2} \ln (n + 1) = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{2 n}, - 1 < x \leq 1

分母是奇数——2n+1

\arctan x = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}, - 1 \leq x \leq 1

分母有阶乘

\begin{matrix} e^{x} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}, - \infty < x \leq \infty \\ - e^{x} = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{n}}{n!}, - \infty < x \leq \infty \\ \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}, - \infty < x \leq \infty \\ \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, - \infty < x \leq \infty \\ \cos x = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}, - \infty < x \leq \infty \\ \sin x = \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}, - \infty < x \leq \infty \end{matrix}

补充

\begin{matrix} \frac{x}{(1 - x)^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} n x^{n}, - 1 < x < 1 \\ - \ln (1 - x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}, - 1 \leq x < 1 \end{matrix}