多元积分学

2022.07.14

三重积分

• 直角坐标系：先1后2法，适用于有上下曲面，无侧面或侧面为柱面

  $${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv={\iint }_{D_{x,y}}d\sigma {\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$

• 直角坐标系：先2后1法，适用于$\mathrm{\Omega }$$\Omega$是旋转体，最好$f(x,y,z)=g(z)$$f(x,y,z)=g(z)$

  $${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv={\int }_a^{b}dz{\iint }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y)d\sigma$$

• 柱坐标系：$\mathrm{\Omega }$$\Omega$的投用是圆或圆的部分，$f(x^2+y^2)$$f(x^2+y^2)$，$f(x^2-y^2)$$f(x^2-y^2)$，$f(xy)$$f(xy)$，$f(\frac{x}{y})$$f(\frac{x}{y})$之一与$g(z)$$g(z)$的复合

  $${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv={\int }_a^{b}dz{\iint }_{\mathrm{\Sigma }}f(r,\theta )rd\theta dr$$

• 球面系：被积函数含$f(x^2+y^2+z^2)$$f(x^2+y^2+z^2)$，$f(x^2+y^2)$$f(x^2+y^2)$，被积区域为球或球的部分，锥或锥的部分

  $${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dv={\int }_0^{\pi }d\varphi {\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{R}f(r,\theta ,r)\cdot r^2\sin \varphi dr$$

• 形心公式逆用

  $${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}xdv=\bar{x}\cdot {\iiint }_{\mathrm{\Omega }}1dv=\bar{x}\cdot V$$

第一型曲线积分

• 参数方程

  $$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$$
  $$ds=\sqrt{[x_t^{\prime }{]}^2+[y_t^{\prime }{]}^2+[z_t^{\prime }{]}^2}dt$$
  $${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t))\sqrt{[x_t^{\prime }{]}^2+[y_x^{\prime }{]}^2}dx$$

• 平面-直角坐标系

  $$y=y(x)$$
  $$ds=\sqrt{1^2+[y_x^{\prime }{]}^2}dx$$
  $${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x,y(x))\sqrt{1+[y_x^{\prime }{]}^2}dx$$

• 平面-极坐标

  $$r=r(\theta )$$
  $$ds=\sqrt{r^2+[r_{\theta }^{\prime }{]}^2}$$
  $${\int }_{L}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )\sin \theta ]\sqrt{r^2+[r_{\theta }^{\prime }{]}^2}d\theta$$

• 形心公式逆用

  $${\int }_{L}xds=\bar{x}\cdot l$$

第一型曲面积分

• 定义

  $${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y,z)dS={\iint }_{D_{x,y}}f[x,y,z(x,y)]\cdot \sqrt{1+[z_x^{\prime }{]}^2+[z_y^{\prime }{]}^2}dxdy$$

• 形心公式逆用

  $${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}xds=\bar{x}\cdot S$$

重积分与第一型线面积分的应用

• 弧长

  $$\begin{array}{rl}L=& \{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}\\ I=& {\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x_t^{\prime }{]}^2,[y_t^{\prime }{]}^2,[z_t^{\prime }{]}^2}dt\end{array}$$

• 薄面在xOy面上的投影区域面积

  $$A={\iint }_{D_{xy}}\sqrt{1+[z_x^{\prime }{]}^2+[z_y^{\prime }{]}^2}dxdy$$

• 重心

  $$\begin{array}{rl}\bar{x}=& \frac{{\int }_{\text{各}\text{种}\text{积}\text{分}}x\rho (x,y,z)d\sigma }{{\int }_{\text{各}\text{种}\text{积}\text{分}}\rho (x,y,z)d\sigma }\end{array}$$

• 转动惯量$\to$$\to$盯着$R^2$$R^2$

  $$\begin{array}{rl}\overline{I_x}=& {\int }_{\text{各}\text{种}\text{积}\text{分}}{x}^2\rho (x,y,z)d\sigma \end{array}$$

• 引力$\to$$\to$盯着$R^3$$R^3$

  $$\begin{array}{c}{F}_x=Gm{\iint }_D\frac{\rho (x,y)(x-x_0)}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+z_0^2{]}^{\frac{3}{2}}}d\sigma \\ F_x=Gm{\iiint }_D\frac{\rho (x,y,z)(x-x_0)}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}d\sigma \end{array}$$

第二类曲线积分

• 场

  $$F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$$

• 第二型曲线积分（eg变力延曲线做功）

  $${\int }_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz$$

• 化为定积分

  $$\begin{array}{rl}& {\int }_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\ =& {\int }_{L}P(x(t),y(t),z(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y^{\prime }(t)+R(x(t),y(t),z(t))z^{\prime }(t)dt\\ =& {\int }_L[P(t)x^{\prime }(t)+Q(t)y^{\prime }(t)+R(t)z^{\prime }(t)]dt\end{array}$$

• 格林公式

  $$\begin{array}{rl}& {\oint }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\ =& {\iint }_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}d\sigma \end{array}$$

第二型面积分

• 第二型曲面积分

  $$\begin{array}{c}{\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dzdx\end{array}$$

• 化为二重积分(比如投到xoy面上)

  $$\begin{array}{cc}& {\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P(x,y,z)dxdy\\ =& {\iint }_{D}P(x,y,z(x,y))\pm dxdy\end{array}$$

• 高斯公式(没有谁对谁求偏导)

  $$\begin{array}{cc}& {\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dzdx\\ =& {\iiint }_V\frac{\partial P}{\partial z}+\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial y}dv\end{array}$$

第二型空间曲线积分

• 斯托克斯公式

  $$\begin{array}{cc}& {\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz\\ =& {\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|dS\end{array}$$