微分方程

2022.06.26

微分方程的概念

• 微分方程

  $$F(x,y,y^{\prime },y^{″},...,y^{(n)})=0$$

   

• 常微分方程：未知数系数为一次的微分方程

   

• 微分方程的阶：最高阶未知数的阶

   

• 微分方程的解：是函数

   

• 微分方程的通解：独立常数的个数等于微分方程的阶数。独立常数：不是任意常数，而是一定范围内的任意常数

   

• 初始条件与特解：确定了通解的常数后就是特解

一阶微分方程的求解

• 变量可分离

  $$\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)\\ \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx\end{array}$$

   

• 可化为变量可分离类

  • f(ax+by+c)类型

    $$\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)\text{类}\text{型}(a\ne 0)\\ z=ax+by+c\\ dz=a+b\frac{dy}{dx}\end{array}$$

  • 齐次类型

    $$\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})\\ z=\frac{y}{x}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}\cdot x+z\end{array}$$

• 公式法

  $$\begin{array}{c}{y}^{\prime }+py=q\\ y=e^{\int -pdx}[\int e^{\int pdx}\cdot qdx+c]\end{array}$$

   

• 伯努利方程

  $$\begin{array}{c}{y}^{\prime }+py=q{y}^n\\ y^{-n}{y}^{\prime }+p{y}^{1-n}=q\\ y^{1-n}=z\end{array}$$

   

二阶可降阶微分方程的求解

• y'' = f(x, y')类型

  $$\begin{array}{c}p=y^{\prime }\\ p^{\prime }=f(x,p)\end{array}$$

   

• y'' = f(y, y')类型

  $$\begin{array}{c}p=y^{\prime }\\ y^{″}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\cdot \frac{dp}{dy}\end{array}$$

   

高阶线性微分方程求解

• 解的结构（二阶为例）

  • 齐次方程的通解：$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$$y = C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$
  • 非齐次方程的通解：对应的齐次方程的通解+非齐次方程的通解
  • 如果非齐次方程是$y^{″}+p{y}^{\prime }+q=f_1(x)+f_2(x)$$y''+py'+q=f_1(x)+f_2(x)$，可以把它拆成两个非齐次方程，原来非齐次方程的特解是两个新非齐次方程的和

• 二阶常系数线性微分方程的通解

  $$\begin{array}{c}{y}^{″}+p{y}^{\prime }+q=0\\ {\lambda }^2+p\lambda +q=0\\ {\lambda }_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}\\ y_{\text{通}}=\{\begin{array}{ll}{C}_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x},& \text{if }\mathrm{\Delta }>0\\ e^{\lambda x}(C_{1}x+C_2),& \text{if }\mathrm{\Delta }=0\\ e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x),& \text{if }\mathrm{\Delta }<0\end{array}\end{array}$$

   

• 二阶常系数非线性微分方程的特解

  类型1：

  $$\begin{array}{c}{y}^{″}+p{y}^{\prime }+qy=e^{\alpha x}\cdot P_n(x)\\ y^{\ast }=e^{\alpha x}\cdot Q_n(x)\cdot x^k\\ \{\begin{array}{l}{e}^{\alpha x}\text{照}\text{抄}\\ Q_n(x)\text{是}x\text{的}n\text{次}\text{多}\text{项}\text{式}\\ k=\{\begin{array}{ll}0,& \alpha \text{不}\text{是}\text{特}\text{征}\text{根}\\ 1,& \alpha \text{是}\text{单}\text{特}\text{征}\text{根}\\ 2,& \alpha \text{是}\text{二}\text{重}\text{特}\text{征}\text{根}\end{array}\end{array}\end{array}$$

   

  类型2：

  $$\begin{array}{c}{y}^{″}+p{y}^{\prime }+qy=e^{\alpha x}\cdot [P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]\\ y^{\ast }=e^{\alpha x}\cdot [Q_l^{(1)}\cdot \cos \beta x+Q_l^{(2)}\cdot \sin \beta x]\cdot x^k\\ \{\begin{array}{l}{e}^{\alpha x}\text{照}\text{抄}\\ l=max(m,n),Q_l^{(1)}\text{与}{Q}_l^{(2)}\text{是}x\text{的}\text{两}\text{个}\text{不}\text{同}\text{的}n\text{次}\text{多}\text{项}\text{式}\\ k=\{\begin{array}{ll}0,& \alpha \pm \beta i\text{不}\text{是}\text{特}\text{征}\text{根}\\ 1,& \alpha \pm \beta i\text{是}\text{单}\text{特}\text{征}\text{根}\end{array}\end{array}\end{array}$$

   

• n阶常系数线性微分方程的解

  $$\{\begin{array}{ll}C{e}^{rx},& \text{单}\text{实}\text{根}r\\ (C_1+C_{2}x+C_3{x}^2+...+C_k{x}^{k-1})e^{rk},& k\text{重}\text{实}\text{根}r\\ e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x),& \text{单}\text{复}\text{根}\alpha +\beta r\\ e^{\alpha x}[(C_1+C_{2}x+...+C_k{x}^{k-1})\cos \beta x+(D_1+D_{2}x+...+D_k{x}^{k-1})\sin \beta x],& k\text{重}\text{复}\text{根}\alpha +\beta r\end{array}$$