二重积分

2022.06.24

性质

1. 区域面积

   $${\iint }_{D}1d\sigma =A$$

    

2. 保号性

   $$\begin{array}{c}f(x,y)\le g(x,y)\to {\iint }_{D}fd\sigma \le {\iint }_{D}gd\sigma \\ |{\iint }_{D}fd\sigma |\le {\iint }_D|f|d\sigma \end{array}$$

    

3. 估值定理

   $$mA\le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le MA$$

    

4. 中值定理

   $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot A$$

    

5. 普通对称性：比如关于y轴对称的区域，x取反，f不变，则是两倍，x取反，f相反数，则积分为零

    

6. 轮换对称性：积分的x写成y，y写成x，积分区域不变。（这样的区域是关于y=x对称的）

计算

1. 直角坐标系

   $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)dy$$

    

2. 极坐标系：不要忘了乘r！

   $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}d\theta {\int }_{{\varphi }_1(\theta )}^{{\varphi }_2(\theta )}f(r,\theta )rdr$$

    

3. 坐标系选择原则：如果是$f(x^2+y^2)$$f(x^2+y^2)$，$f(\frac{x}{y})$$f(\frac{x}{y})$，$f(\frac{y}{x})$$f(\frac{y}{x})$用极坐标系。积分区域是圆(第一部分)也可能用极坐标系。

    

4. 积分次序（有下面要素的需要交换积分次序）

   $\int \sin (\frac{1}{x})dx$$\int \sin(\frac{1}{x}) dx$

   $\int \cos (\frac{1}{x})dx$$\int \cos(\frac{1}{x}) dx$

   $\int \frac{\sin x}{x}dx$$\int \frac{\sin x}{x} dx$

   $\int \frac{\cos x}{x}dx$$\int \frac{\cos x}{x} dx$

   $\int \frac{\tan x}{x}dx$$\int \frac{\tan x}{x} dx$

   $\int \frac{e^x}{x}dx$$\int \frac{e^x}{x} dx$，

   $\int \sin x^{2}dx$$\int \sin{x^2} dx$

   $\int \cos x^{2}dx$$\int \cos{x^2} dx$

   $\int \tan x^{2}dx$$\int \tan{x^2} dx$

   $\int e^{a{x}^2+bx+c}(a\ne 0)dx$$\int e^{ax^2+bx+c}(a≠0) dx$

   如：$\int e^{x^2}dx$$\int e^{x^2} dx$

   $\int e^{-x^2}dx$$\int e^{-x^2}dx$

   $\int \frac{1}{\ln x}dx$$\int \frac{1}{\ln x} dx$

    

5. 重要积分结论

   $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$